Compus de două mari icosidodecaedre retrosnub

Descriere
Compus de două mari icosidodecaedre retrosnub

(model 3D)
Tip	compus poliedric uniform UC₇₁ - UC₇₂ - UC₇₃
Fețe	184 (160 triunghiuri, 24 pentagrame)
Laturi (muchii)	300
Vârfuri	120
Configurația vârfului	3²,3/2,3,5/3^[1]
Grup de simetrie	Compus: icosaedrică (I_h) Constituenți: icosaedrică chirală (I)
Volum	≈2,075 $a$ ³ ( $a$ = latura)
Poliedru dual	compus de două mari hexacontaedre pentagramice
Proprietăți	Constituenți: 2 mari icosidodecaedre retrosnub

În geometrie compusul de două mari icosidodecaedre retrosnub este un compus poliedric uniform format din 2 versiuni chirale ale marelui icosidodecaedru retrosnub. Are simetrie icosaedrică (I_h).^[2]

Are indicele de compus uniform UC₇₂,^[2] și indicele Wenninger 117.^[3]

Mărimi asociate

coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr par de semne plus și permutările impare cu un număr impar de semne plus ale^[2]

\left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)

\left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)

\left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)

\left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)

\left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur,

\xi

este cea mai mică rădăcină reală pozitivă a polinomului

\xi ^{3}-2\xi +\varphi ^{-1}

, soluția analitică fiind

\xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}\approx 0,3264046,

rezultat care se poate obține și numeric,^[4]

\alpha =\xi -\xi ^{-1}

iar

\beta =-\xi \varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}-(\xi \varphi )^{-1}.

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate este^[3]

R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}\approx 0,580002

unde $x\approx -1,89346$ este cea mai mică rădăcină reală a polinomului $x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{-2}$ .^[5]

Volumul său, $V$ , este dat de cea mai mică dintre rădăcinile reale ale polinomului de gradul al șaselea în $x^{2}$

{\begin{aligned}&2176782336x^{12}-3195335070720x^{10}+162223191936000x^{8}+1030526618040000x^{6}\\{}&+6152923794150000x^{4}-182124351550575000x^{2}+187445810737515625.\end{aligned}}

Cele patru rădăcini reale ale acestui polinom sunt $x 1 = 1,03760$ , $x 2 = 2,71387$ , $x 3 = 7,67390$ și $x 4 = 37,6166$ ^[6] și sunt, în ordine, volumele marelui icosidodecaedru retrosnub (U₇₄), marelui icosidodecaedru snub (U₅₇), marelui icosidodecaedru snub inversat (U₆₉) și al dodecaedrului snub (U₂₉).

Ca urmare, volumul este

V\approx 2,07520~a^{3}

unde $a$ este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).

^ en gidrissid, bendwavy.org, accesat 2023-10-24
^ ^a ^b ^c en Skilling, John (1976), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79 (03): 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554
^ ^a ^b en Eric W. Weisstein, Great Retrosnub Icosidodecahedron la MathWorld.
^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-22
^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-22
^ en equation solver, wolframalpha.com, accesat 2023-10-21

Portal Matematică