Compus de două mari icosidodecaedre retrosnub

Compus de două mari icosidodecaedre retrosnub
(model 3D)
Descriere
Tip	compus poliedric uniform UC71 - UC72 - UC73
Fețe	184 (160 triunghiuri,           24 pentagrame)
Laturi (muchii)	300
Vârfuri	120
Configurația vârfului	32,3/2,3,5/3
Grup de simetrie	Compus: icosaedrică (Ih) Constituenți: icosaedrică chirală (I)
Volum	≈2,075 a3   (a = latura)
Poliedru dual	compus de două mari hexacontaedre pentagramice
Proprietăți	Constituenți: 2 mari icosidodecaedre retrosnub

În geometrie compusul de două mari icosidodecaedre retrosnub este un compus poliedric uniform format din 2 versiuni chirale ale marelui icosidodecaedru retrosnub. Are simetrie icosaedrică (I_h).

Are indicele de compus uniform UC₇₂, și indicele Wenninger 117.

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt toate permutările pare cu un număr par de semne plus și permutările impare cu un număr impar de semne plus ale

$\left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)$

$\left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)$

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur,

$\xi$ este cea mai mică rădăcină reală pozitivă a polinomului $\xi ^{3}-2\xi +\varphi ^{-1}$, soluția analitică fiind

$\xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}\approx 0,3264046,$

rezultat care se poate obține și numeric,

$\alpha =\xi -\xi ^{-1}$ iar

$\beta =-\xi \varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}-(\xi \varphi )^{-1}.$

Rază circumscrisă

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii de 1 unitate este

$R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}\approx 0,580002$

unde $x\approx -1,89346$ este cea mai mică rădăcină reală a polinomului $x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{-2}$.

Volum

Volumul său, V, este dat de cea mai mică dintre rădăcinile reale ale polinomului de gradul al șaselea în $x^{2}$

${\begin{aligned}&2176782336x^{12}-3195335070720x^{10}+162223191936000x^{8}+1030526618040000x^{6}\\{}&+6152923794150000x^{4}-182124351550575000x^{2}+187445810737515625.\end{aligned}}$

Cele patru rădăcini reale ale acestui polinom sunt x₁ = 1,03760, x₂ = 2,71387, x₃ = 7,67390 și x₄ = 37,6166 și sunt, în ordine, volumele marelui icosidodecaedru retrosnub (U₇₄), marelui icosidodecaedru snub (U₅₇), marelui icosidodecaedru snub inversat (U₆₉) și al dodecaedrului snub (U₂₉).

Ca urmare, volumul este

$V\approx 2,07520~a^{3}$

unde a este lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate).

Vezi și

• Lista compușilor poliedrici uniformi

Compuși de poliedre snub

• Compus de două cuburi snub
• Compus de două dodecaedre snub
• Compus de două mari icosidodecaedre snub
• Compus de două mari icosidodecaedre snub inversate
• Compus de două dodecadodecaedre snub
• Compus de două dodecadodecaedre snub inversate
• Compus de două icosidodecadodecaedre snub

Legături externe

• en Polyhedron Category C10: Disnubs Gidrissid