Patrulater circumscriptibil

În geometria euclidiană, un patrulater circumscriptibil^[1]^[2]^[3]^[4] este un patrulater convex ale cărui laturi sunt toate tangente la un singur cerc. Acest cerc este cercul înscris în patrulater (cercul înscris al patrulaterului). Patrulaterele circumscriptibile sunt un caz particular al poligoanelor circumscriptibile.

Se mai întâlnește și denumirea de patrulater circumscris unui cerc,^[3]^[5] însă datorită riscului de a fi confundat cu patrulaterul circumscris de un cerc această denumire ar trebui evitată.^[6]

Unii autori^[7] consideră că noțiunile „patrulater circumscriptibil” și „patrulater circumscris unui cerc” sunt diferite, oferind definiții diferite pentru ele. Însă acele definiții sunt de fapt proprietăți ale aceleiași figuri geometrice.

Toate triunghiurile au un cerc înscris, dar nu toate patrulaterele au unul. Un exemplu de patrulater care nu este circumscriptibil este dreptunghiul (care nu este pătrat).

Cazuri particulare

Exemple de patrulatere circumscriptibile sunt pătratele, romburile și romboizii. Aceștia din urmă sunt patrulatere circumscriptibile care au și diagonalele ortogonale.^[8] Romboidul dreptunghic este inscriptibil. Un patrulater care este atât circumscriptibil, cât și inscriptibil este un Patrulater bicentric, iar dacă este atât circumscriptibil, cât și trapez se vorbește despre un trapez circumscriptibil.

Caracteristici

Într-un patrulater circumscriptibil cele patru bisectoare (interioare) se întâlnesc în centrul cercului înscris. Invers, un patrulater convex în care cele patru bisectoare se întâlnesc într-un punct este circumscriptibil, iar punctul de intersecție este centrul cercului înscris.^[9]

Conform teoremei lui Pitot, sumele lungimilor celor două perechi de laturi opuse dintr-un patrulater circumscriptibil sunt egale cu semiperimetrul $s$ al patrulaterului:

a+c=b+d={\frac {a+b+c+d}{2}}=s.

Invers, un patrulater în care $a + c = b + d$ este circumscriptibil.^[4]^:p.65^,^[9]

Dacă laturile opuse dintr-un patrulater convex $ABCD$ (care nu este un trapez) se intersectează în $E$ și $F$ , atunci acesta este circumscriptibil dacă și numai dacă^[9]

\displaystyle BE+BF=DE+DF

sau

\displaystyle AE-EC=AF-FC.

A doua dintre acestea este aproape aceeași cu una dintre egalitățile din Teorema Urquhart. Singurele diferențe sunt semnele din ambele părți: în teorema lui Urquhart există sume în loc de diferențe.

Altă condiție necesară și suficientă ca un patrulater convex $ABCD$ să fie circumscriptibil este ca cercurile înscrise în cele două triunghiuri $ABC$ și $ADC$ să fie tangente unul la celălalt. ^[4]^:p.66

O proprietate privind unghiurile formate din diagonala $BD$ și cele patru laturi ale unui patrulater $ABCD$ i se datorează lui Iosifescu. El a demonstrat în 1954 că un patrulater convex are un cerc înscris dacă și numai dacă^[10]

\tan {\frac {\angle ABD}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle BDC}{2}}=\tan {\frac {\angle ADB}{2}}\cdot \tan {\frac {\angle DBC}{2}}.

Mai mult, un patrulater convex cu laturile (în ordine) $a, b, c, d$ este circumscriptibil dacă și numai dacă

R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}

unde $R a, R b, R c, R d$ sunt razele cercurilor tangente extern la laturile $a, b, c$ respectiv $d$ și prelungirile celor două laturi adiacente fiecărei laturi.^[11]^:p.72

Formule

Literatura de specialitate conține formule pentru calculul ariei^[8]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[15]^[17] și a razei cercului înscris ^[12]^[15]^[16]^[18]^[19]^[20]^[21] în funcție de lungimile laturilor, ale unghiurilor^[8] și diagonalelor^[13] în funcție de lungimea segmentelor dintre vârfuri și punctele de tangență etc.

Note

^ Dorin Andrica, Syllabus masterat matematică, Universitatea Babeș-Bolyai, 9 noiembrie 2011, accesat 2021-12-03
^ Revista Electronică MateInfo.ro, mateinfo.ro, august 2011, ISSN 2065–6432, p. 9, accesat 2021-12-03
^ ^a ^b Sinteză a geometriei de clasa a VII-a, liceulotopeni.ro, accesat 2021-12-03
^ ^a ^b ^c en Josefsson, Martin (2011), „More Characterizations of Tangential Quadrilaterals” (PDF), Forum Geometricorum, 11: 65–82, arhivat din original (PDF) la 4 martie 2016, accesat în 19 decembrie 2021
^ Gheorghe Adalbert Schneider, Să învățăm matematica fără profesor: Clasa a VII-a, Craiova: Ed. Hyperion, 2020, p. 126
^ Patrulater circumscris înscris unui cerc, didactic.ro, accesat 2021-12-03
^ Artur Bălăucă, Algebră, geometrie, 1440 de probleme semnificative pentru olimpiade, concursuri și centre de excelență, Iași: Ed. Taida, p. 146
^ ^a ^b ^c Josefsson, Martin (2010), „Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130, arhivat din original (PDF) la 13 august 2011, accesat în 19 decembrie 2021 .
^ ^a ^b ^c en Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006), Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, pp. 64–68 .
^ en Minculete, Nicusor (2009), „Characterizations of a Tangential Quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 9: 113–118, arhivat din original (PDF) la 3 martie 2016, accesat în 19 decembrie 2021
^ en Josefsson, Martin (2012), „Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals” (PDF), Forum Geometricorum, 12: 63–77, arhivat din original (PDF) la 16 ianuarie 2022, accesat în 19 decembrie 2021
^ ^a ^b en Durell, C.V.; Robson, A. (2003), Advanced Trigonometry, Dover reprint, pp. 28–30
^ ^a ^b en Hajja, Mowaffaq (2008), „A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic” (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103–106, arhivat din original (PDF) la 26 noiembrie 2019, accesat în 19 decembrie 2021 .
^ Siddons, A.W.; Hughes, R.T. (1929), Trigonometry, Cambridge Univ. Press, p. 203
^ ^a ^b ^c en Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [1] Arhivat în 2 martie 2019, la Wayback Machine., 1998, pp. 156–157
^ ^a ^b en Grinberg, Darij, Circumscribed quadrilaterals revisited, 2008
^ en Hoyt, John P. (1986), „Maximizing the Area of a Trapezium”, American Mathematical Monthly, 93 (1): 54–56, doi:10.2307/2322549 .
^ en Siddons, A.W.; Hughes, R.T. (1929), Trigonometry, Cambridge Univ. Press, p. 203
^ Hoyt, John P. (1984), „Quickies, Q694”, Mathematics Magazine, 57 (4): 239, 242
^ en Josefsson, Martin (2010), „On the inradius of a tangential quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 10: 27–34, arhivat din original (PDF) la 19 decembrie 2021, accesat în 19 decembrie 2021 .
^ en Alexander Bogomolny (2016), An Inradii Relation in Inscriptible Quadrilateral, Cut-the-knot

Vezi și

Patrulater exscriptibil

Legături externe

Portal Matematică

Materiale media legate de patrulater circumscriptibil la Wikimedia Commons
en Eric W. Weisstein, Tangential Quadrilateral la MathWorld.

[1] Dorin Andrica, Syllabus masterat matematică, Universitatea Babeș-Bolyai, 9 noiembrie 2011, accesat 2021-12-03

[2] Revista Electronică MateInfo.ro, mateinfo.ro, august 2011, ISSN 2065–6432, p. 9, accesat 2021-12-03

[LO-3] Sinteză a geometriei de clasa a VII-a, liceulotopeni.ro, accesat 2021-12-03

[Josefsson2-4] Josefsson, Martin (2011), „More Characterizations of Tangential Quadrilaterals” (PDF), Forum Geometricorum, 11: 65–82, arhivat din original (PDF) la 4 martie 2016, accesat în 19 decembrie 2021

[5] Gheorghe Adalbert Schneider, Să învățăm matematica fără profesor: Clasa a VII-a, Craiova: Ed. Hyperion, 2020, p. 126

[6] Patrulater circumscris înscris unui cerc, didactic.ro, accesat 2021-12-03

[4-7] Artur Bălăucă, Algebră, geometrie, 1440 de probleme semnificative pentru olimpiade, concursuri și centre de excelență, Iași: Ed. Taida, p. 146

[Josefsson-8] Josefsson, Martin (2010), „Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130, arhivat din original (PDF) la 13 august 2011, accesat în 19 decembrie 2021 .

[Andreescu-9] Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006), Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, pp. 64–68 .

[Minculete-10] Minculete, Nicusor (2009), „Characterizations of a Tangential Quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 9: 113–118, arhivat din original (PDF) la 3 martie 2016, accesat în 19 decembrie 2021

[11] Josefsson, Martin (2012), „Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals” (PDF), Forum Geometricorum, 12: 63–77, arhivat din original (PDF) la 16 ianuarie 2022, accesat în 19 decembrie 2021

[Durell-12] Durell, C.V.; Robson, A. (2003), Advanced Trigonometry, Dover reprint, pp. 28–30

[Hajja-13] Hajja, Mowaffaq (2008), „A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic” (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103–106, arhivat din original (PDF) la 26 noiembrie 2019, accesat în 19 decembrie 2021 .

[14] Siddons, A.W.; Hughes, R.T. (1929), Trigonometry, Cambridge Univ. Press, p. 203

[Yiu-15] Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [1] Arhivat în 2 martie 2019, la Wayback Machine., 1998, pp. 156–157

[Grinberg-16] Grinberg, Darij, Circumscribed quadrilaterals revisited, 2008

[17] Hoyt, John P. (1986), „Maximizing the Area of a Trapezium”, American Mathematical Monthly, 93 (1): 54–56, doi:10.2307/2322549 .

[18] Siddons, A.W.; Hughes, R.T. (1929), Trigonometry, Cambridge Univ. Press, p. 203

[19] Hoyt, John P. (1984), „Quickies, Q694”, Mathematics Magazine, 57 (4): 239, 242

[20] Josefsson, Martin (2010), „On the inradius of a tangential quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum, 10: 27–34, arhivat din original (PDF) la 19 decembrie 2021, accesat în 19 decembrie 2021 .

[21] Alexander Bogomolny (2016), An Inradii Relation in Inscriptible Quadrilateral, Cut-the-knot

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]