Element zero

una dintre generalizările numărului zero în alte structuri algebrice
(Redirecționat de la Ideal nul)

În matematică un element zero este una dintre mai multele generalizări ale numărul zero în alte structuri algebrice. Aceste semnificații alternative se pot reduce sau nu la același lucru, în funcție de context.

Element neutru aditiv

modificare

Elementul neutru aditiv este elementul neutru dintr-un grup aditiv. Corespunde elementului 0 astfel încât pentru orice x din grup există  . Câteva exemple de identitate aditivă sunt:

  • Vectorul zero pentru adunarea vectorilor: vectorul cu lungimea 0 și ale cărui componente sunt toate 0. Adesea notat ca   sau  [1]
  • Funcția zero definită de   pentru operația punctuală  
  • Mulțimea vidă din teoria mulțimilor.
  • O sumă vidă sau un coprodus vid.
  • Un obiect inițial⁠(d) într-o categorie (un coprodus nul, deci un element neutru pentru coproduse).

Element absorbant

modificare

Un element absorbant într-un semigrup multiplicativ sau semiinel generalizează proprietatea   Exemplele cuprind:

  • Mulțimea vidă, care este elementul absorbant pentru produsul cartezian de mulțimi deoarece  
  • Funcția zero definită de   pentru operația punctuală  

Multe elemente absorbante sunt și elemente neutre față de adunare, inclusiv mulțimea vidă și funcția zero. Un alt exemplu important este elementul distinctiv 0 dintr-un corp sau inel, care este atât elementul neutru aditiv, cât și elementul absorbant pentru înmulțire și al cărui ideal principal este cel mai mic ideal.

Obiect nul

modificare

Un obiect nul dintr-o categorie este atât un obiect inițial⁠(d), cât și un obiect final⁠(d) (și astfel un element neutru atât pentru produse, cât și pentru coproduse). De exemplu, structura trivială (conținând doar elementul neutru) este un obiect nul în categoriile în care morfismele trebuie să aplice aceste elemente pe ele însele. Exemplele specifice cuprind:

Morfism nul

modificare

Un morfism nul într-o categorie este un element absorbant generalizat pentru compunerea funcțiilor⁠(d): orice morfism compus cu un morfism nul dă un morfism nul. Mai exact, dacă   este morfismul nul dintre morfismele de la X la Y, iar   și   sunt morfisme arbitrare, atunci   și  

Dacă o categorie are un obiect nul  , atunci există morfisme canonice   și   iar compunerea lor dă un morfism nul   În categoria grupurilor, de exemplu, morfismele nule sunt morfisme care returnează întotdeauna elementul neutru, generalizând astfel funcția  

Cel mai mic element

modificare

Un cel mai mic element⁠(d) dintr-o mulțime parțial ordonată⁠(d) sau o latice⁠(d) poate fi uneori numit element nul și scris fie ca 0, fie ca .

Modul nul

modificare

În matematică modulul nul este modulul⁠(d) constând numai din elementul neutru aditiv pentru funcția de adunare a modulului. În numerele întregi, acest element este 0, ceea ce dă numele de modul nul. Că modulul nul este de fapt un modul este simplu de arătat; este închis trivial pentru adunare și înmulțire.

Ideal nul

modificare

În matematică idealul nul dintr-un inel   este idealul   constând doar din elementul neutru aditiv (sau elementul 0). Faptul că acesta este un ideal rezultă direct din definiție.

Matrice nulă

modificare

În matematică, în special în algebra liniară, o matrice nulă este o matrice în care fiecare element are valoarea 0. De obicei este notată cu simbolul  [2] Câteva exemple de matrici nule sunt:

 

Mulțimea matricilor   cu elemente dintr-un inel K formează un modul  . Matricea nulă   din   este matricea cu toate elementele egale cu  , unde   este elementul neutru aditiv din K.

 

Matricea nulă este elementul neutru aditiv din  . Adică, pentru orice  :

 

Există o singură matrice nulă cu o dimensiune dată   (cu elementele dintr-un anumit inel), așa că atunci când contextul este clar, se spune adesea matricea nulă. În general, elementul neutru aditiv al unui inel este unic și este de obicei notat ca 0 fără nici un indice care să indice inelul de care aparține. Prin urmare, exemplele de mai sus reprezintă matrice nule peste orice inel.

Matricea nulă reprezintă, de asemenea, transformarea liniară care aplică toți vectorii pe vectorul nul.

Tensor nul

modificare

În matematică tensorul nul este un tensor de orice ordin, ale cărui componente sunt 0. Tensorul nul de ordinul 1 este uneori cunoscut ca vectorul nul.

Produsul tensorial⁠(d) al oricărui tensor cu orice tensor nul este un alt tensor nul. Adunarea cu tensorul nul este echivalentă cu operația de identitate.

  1. ^ en Nair, M. Thamban; Singh, Arindama (). Linear Algebra. Springer. p. 3. doi:10.1007/978-981-13-0926-7. ISBN 978-981-13-0925-0. 
  2. ^ en Lang, Serge (), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 25, ISBN 9780387964126, We have a zero matrix in which aij = 0 for all ij. ... We shall write it O. 

Vezi și

modificare