Ideal principal

ideal generat de un singur element

În matematică, în special în teoria inelelor⁠(d), un ideal principal este un ideal într-un inel care este generat de un singur element din prin înmulțire cu fiecare element din [1] Termenul are și un alt sens, similar, în teoria ordinii⁠(d), unde se referă la un ideal⁠(d) într-o mulțime parțial ordonată⁠(d) generat de un singur element adică mulțimea tuturor elementelor mai mici sau egale cu din

Restul acestui articol abordează noțiunea referitoare la inele.

Definiții

modificare
  • Un ideal principal stâng din   este o submulțime din   dată de   pentru un element  [2]
  • Un ideal principal drept din   este o submulțime din   dată de   pentru un element  [2]
  • Un ideal principal bilateral din   este o submulțime din   dată de   pentru un element   și anume, mulțimea tuturor sumelor finite de elemente de forma  [2]

Această definiție pentru idealul principal bilateral poate părea mai complicată decât celelalte. Este necesar și ca idealul să rămână închis pentru adunare.

Dacă   este un inel comutativ cu element neutru, atunci cele trei noțiuni de mai sus sunt una și aceeași. În acest caz se obișnuiește să se scrie idealul generat de   drept   sau  

Exemple de ideale care nu sunt principale

modificare

Nu toate idealele sunt principale. De exemplu fie inelul comutativ   al tuturor polinoamelor cu două variabile   și   cu coeficienți complecși. Idealul   generat de   și   care constă din toate polinoamele din   care au zero pentru termenul constant, nu este principal. Pentru a arăta acest lucru, se presupune că   a fost un generator pentru   Atunci   și   ar fi ambele divizibile cu   ceea ce este imposibil decât dacă   este o constantă diferită de zero. Dar zero este singura constantă în  , așa apare o contradicție⁠(d).

În inelul   numerele în care   sunt pare formează un ideal care nu este principal. Acest ideal formează în planul complex o latice hexagonală regulată. Fie   și   Aceste numere sunt elemente ale acestui ideal cu aceeași normă (doi), dar pentru că singurele unități din inel sunt   și   nu sunt asociate.

Definiții înrudite

modificare

Un inel în care orice ideal este unul principal se numește principal.[3] Orice inel principal este un inel factorial; demonstrația obișnuită a descompunerii unice a întregilor (teorema fundamentală a aritmeticii) este valabilă în orice inel factorial.

Exemple de ideale principale

modificare

Idealele principalele din   sunt de forma   De fapt,   este un ideal principal, care poate fi prezentat după cum urmează. Se presupune că   unde   și fie homomorfismele⁠(d) surjective   Deoarece   este finit, pentru   suficient de mare există   Astfel,   care implică că   este întotdeauna generat finit. Deoarece idealul   generat de orice numere întregi   și   este exact   prin inducție asupra numărului de generatori rezultă că   este principal.

Totuși, toate inelele au ideale principale, și anume orice ideal generat de exact un element. De exemplu, idealul   este un ideal principal al   și   este un ideal principal al lui   De fapt,   și   sunt idealele principale ale oricărui inel  

Proprietăți

modificare

Orice inel euclidian⁠(d) este un inel principal. Algoritmul folosit pentru a calcula cel mai mare divizor comun poate fi folosit pentru a găsi un generator al oricărui ideal. Mai general, oricare două ideale principale dintr-un inel comutativ au un cel mai mare divizor comun în sensul înmulțirii idealelor. În inelele principale aceasta ne permite să calculăm cei mai mari divizori comuni ai elementelor inelului, până la înmulțirea cu o unitate⁠(d). Se definește   ca fiind orice generator al idealului  

Pentru un Inel Dedekind⁠(d)   și   un ideal care nu este principal al   se poate pune întrebarea dacă există extensia   a   astfel încât idealul lui   generat de   este principal (spus mai vag,   devine principal în  ). Această întrebare a apărut în legătură cu studiul inelelor de numere întregi algebrice (care sunt exemple de domenii Dedekind) în teoria numerelor și a condus la dezvoltarea teoriei corpurilor de clase⁠(d) de către Teiji Takagi, Emil Artin, David Hilbert și mulți alții.

Teorema idealului principal a teoriei corpurilor de clase afirmă că orice inel de întregi   (adică inelul numerelor întregi al unui corp de numere⁠(d)) este conținut într-un inel de întregi mai mare   care are proprietatea că orice ideal al lui   devine un ideal principal al lui   În această teoremă se poate lua   ca fiind inelul de numere întregi al corpului de clase Hilbert al  ; adică extensia abeliană neramificată maximă (adică, extensia Galois a cărei grup Galois⁠(d) este abelian) a corpului fracțiilor lui   iar acest lucru este determinat în mod unic de către  

Teorema idealului principal a lui Krull afirmă că dacă   este un inel noetherian⁠(d) și   este un ideal principal, propriu, al lui  , atunci   are înălțimea de cel mult unu.

  1. ^ Tiberiu Dumitrescu, Algebra 1 (curs, p. 67), Universitatea din București, 2006, accesat 2023-05-09
  2. ^ a b c Dumitru Bușneag, Dana Piciu, Lecții de algebră, Craiova, Ed. Universitaria, 2002, ISBN: 973-8043-109-8, p. 163
  3. ^ Răzvan-Dinu Lițcanu, Câteva rezultate de algebră comutativă (curs de geometrie algebrică, p. 1), Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași, accesat 2023-09-25

Bibliografie

modificare
  • en Gallian, Joseph A. (). Contemporary Abstract Algebra (ed. 9th). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0.