Curgere potențială

În dinamica fluidelor, curgerea potențială sau curgerea irotațională se referă la o descriere a unei curgeri a unui fluid fără vorticitate. O astfel de descriere apare de obicei în limita viscozității care dispare, adică pentru un fluid ideal și fără vorticitate în curgere.

Curgerea potențială descrie câmpul de viteze ca fiind gradientul unei funcții scalare: potențialul vitezei. Prin urmare, o curgere potențială este caracterizată de un câmp de viteze irotațional^⁠(d), o aproximare validă pentru diverse aplicații. Irotaționalitatea curgerii potențiale derivă din faptul că rotorul gradientului unui scalar^⁠(d) este întotdeauna zero.

În cazul unei curgeri incompresibile, potențialul vitezei satisface ecuația lui Laplace, iar teoria potențialului este aplicabilă. Cu toate acestea, curgerile potențiale au fost utilizate și pentru a descrie curgerile compresibile și curgerile Hele-Shaw. Abordarea curgerii potențiale apare în modelarea atât a curgerilor staționare, cât și a celor nestaționare.

Printre aplicațiile curgerii potențiale se numără: curgerea exterioară pentru profile aerodinamice, undele de apă, curgerea electroosmotică și curgerea apelor subterane. În cazul curgerilor (sau al unor părți ale acestora) cu efecte puternice de vorticitate, aproximația curgerii potențiale nu este aplicabilă. În regiunile de curgere în care se știe că vorticitatea este importantă, cum ar fi urmele valurilor și straturile limită, teoria curgerii potențiale nu este capabilă să ofere predicții rezonabile ale curgerii.^[1] Din fericire, există adesea regiuni mari ale unei curgeri în care ipoteza de irotaționalitate este valabilă, motiv pentru care curgerea potențială este utilizată pentru diverse aplicații, cum ar fi: curgerea în jurul aeronavelor, curgerea apelor subterane, acustica, undele de apă și curgerea electroosmotică.^[2]

Descriere și caracteristici

O curgere potențială se construiește prin adăugarea unor curgeri elementare simple și observarea rezultatului.

Linii de curgere pentru curgerea potențială incompresibilă în jurul unui cilindru circular, într-o curgere uniformă.

În curgerea potențială sau irotațională, câmpul vectorial de vorticitate este zero. Acest lucru poate fi exprimat astfel:

{\boldsymbol {\omega }}\equiv \nabla \times \mathbf {v} =0

unde $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)$ este câmpul de viteze și ${\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ,t)$ este câmpul de vorticitate. Deoarece orice câmp vectorial cu curbură zero poate fi exprimat ca gradient al unui scalar, câmpul de viteze poate fi scris ca gradient al unui scalar numit potențial de viteză, $\varphi (\mathbf {x} ,t)$ . Deoarece curbura gradientului este întotdeauna zero, avem:^[3]

\mathbf {v} =\nabla \varphi .

Potențialul de viteză nu este definit în mod unic, deoarece la acesta se poate adăuga o funcție arbitrară a timpului, de exemplu $f(t)$ , sau un termen de forma $\nabla \times \mathbf {f}$ cu $\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)$ fiind un câmp vectorial arbitrar, fără a afecta mărimea fizică relevantă, care este $\mathbf {v}$ . Neunicitatea este eliminată de obicei prin selectarea adecvată a condițiilor inițiale sau la limită satisfăcute de $\varphi$ , iar ca atare procedura poate varia de la o problemă la alta.

În curgerea potențială, circulația $\Gamma$ în jurul oricărui contur simplu conectat $C$ este zero. Acest lucru poate fi demonstrat folosind teorema Stokes,

\Gamma \equiv \oint _{C}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {l} =\int {\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {f} =0

unde $d\mathbf {l}$ este elementul de linie pe contur și $d\mathbf {f}$ este elementul de suprafață al oricărei suprafețe delimitate de contur. În spațiul multiconectat (de exemplu, în jurul unui contur care înconjoară un corp solid în două dimensiuni sau în jurul unui contur care înconjoară un tor în trei dimensiuni) sau în prezența vârtejurilor concentrate (de exemplu, în așa-numitele vârtejuri irotaționale sau vârtejuri punctuale, sau în inele de fum), circulația $\Gamma$ nu trebuie să fie zero. În primul caz, teorema Stokes nu poate fi aplicată, iar în ultimul caz, ${\boldsymbol {\omega }}$ este diferită de zero în regiunea delimitată de contur. În jurul unui contur care înconjoară un cilindru solid infinit de lung cu care conturul se buclează de $N$ ori, avem:

\Gamma =N\kappa

Unde $\kappa$ este o constantă ciclică. Acest exemplu aparține unui spațiu dublu conectat. Într-un spațiu $n$ -dublu conectat, există $n-1$ astfel de constante ciclice, și anume, $\kappa _{1},\kappa _{2},\dots ,\kappa _{n-1}.$

Curgere incompresibilă

În cazul unei curgeri incompresibile, cum ar fi un lichid sau un gaz la numere Mach scăzute (dar nu pentru undele sonore), viteza $v$ are divergență zero:^[3]

\nabla \cdot \mathbf {v} =0\,,

Înlocuind aici $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ , observăm că $\varphi$ satisface ecuația lui Laplace^[3]

\nabla ^{2}\varphi =0\,,

unde $\nabla 2 = \nabla \cdot \nabla$ este operatorul Laplace (uneori scris și $Δ$ ). Deoarece soluțiile ecuației Laplace sunt funcții armonice, fiecare funcție armonică reprezintă o soluție de curgere potențială. După cum este evident, în cazul incompresibilității, câmpul de viteze este complet determinat de cinematica sa: ipotezele de irotaționalitate și divergență zero a curgerii. Dinamica, în legătură cu ecuațiile de impuls, trebuie aplicată ulterior numai dacă se dorește calcularea câmpului de presiune: de exemplu, pentru curgerea în jurul profilurilor aerodinamice, prin utilizarea principiului lui Bernoulli.

În cazul curgerilor incompresibile, contrar unei concepții greșite comune, curgerea potențială satisface într-adevăr ecuațiile complete Navier-Stokes, nu doar ecuațiile lui Euler, deoarece termenul vâscos:

\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} =\mu \nabla (\nabla \cdot \mathbf {v} )-\mu \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}=0

este identic zero. Incapacitatea curgerii potențiale de a satisface condițiile de limită necesare, în special în apropierea limitelor solide, face ca aceasta să nu fie valabilă în reprezentarea câmpului de curgere necesar. Dacă curgerea potențială satisface condițiile necesare, atunci aceasta reprezintă soluția necesară a ecuațiilor Navier–Stokes incompresibile.

În două dimensiuni, curgerea potențială incompresibilă se reduce la un sistem foarte simplu care este analizat folosind analiza complexă (a se vedea mai jos).

Curgere compresibilă

Curgere constantă

Teoria curgerii potențiale poate fi, de asemenea, utilizată pentru a modela curgerea compresibilă irotațională. Derivarea ecuației de guvernare pentru $\varphi$ din ecuația lui Euler este destul de simplă. Ecuațiile de continuitate și de impuls (de curgere potențială) pentru curgerile staționare sunt date de:

\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho

unde ultima ecuație rezultă din faptul că entropia este constantă pentru un element de fluid și că pătratul vitezei sunetului este $c^{2}=(\partial p/\partial \rho )_{s}$ . Eliminarea $\nabla \rho$ din cele două ecuații de guvernare rezultă în:

c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} -\mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =0.

Versiunea incompresibilă apare în limita $c\to \infty$ . Substituind aici $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ rezultă în^[4]^[5]

(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx})=0

unde $c=c(v)$ este exprimată ca o funcție de mărimea vitezei $v^{2}=(\nabla \phi )^{2}$ . Pentru un gaz politropic, $c^{2}=(\gamma -1)(h_{0}-v^{2}/2)$ , unde $\gamma$ este raportul de căldură specifică și $h_{0}$ este entalpia de stagnare. În două dimensiuni, ecuația se simplifică la:

(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.

Validitate: În forma actuală, ecuația este valabilă pentru orice curgere potențială neviscidă, indiferent dacă curgerea este subsonică sau supersonică (de exemplu, curgerea Prandtl-Meyer). Cu toate acestea, în cazul curgerilor supersonice și, de asemenea, în cazul curgerilor transonice, pot apărea unde de șoc care pot introduce entropie și vorticitate în curgere, făcând curgerea să devină rotațională. Cu toate acestea, există două cazuri în care curgerea potențială prevalează chiar și în prezența undelor de șoc, care se explică prin ecuația impulsului (nu neapărat potențială) scrisă sub următoarea formă:

\nabla (h+v^{2}/2)-\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=T\nabla s

unde $h$ este entalpia specifică, ${\boldsymbol {\omega }}$ este câmpul de vorticitate, $T$ este temperatura și $s$ este entropia specifică. Deoarece în fața undei de șoc conducătoare avem o curgere potențială, ecuația lui Bernoulli arată că $h+v^{2}/2$ este constantă, fiind de asemenea constantă de-a lungul undei de șoc (condițiile Rankine-Hugoniot) și, prin urmare, putem scrie^[4]

\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=-T\nabla s

1) Atunci când unda de șoc este de intensitate constantă, discontinuitatea entropiei de-a lungul undei de șoc este, de asemenea, constantă, adică, $\nabla s=0$ și, prin urmare, producția de vorticitate este zero. Undele de șoc la marginea anterioară ascuțită a unui con bidimensional sau a unui con tridimensional (curgere Taylor-Maccoll) au o intensitate constantă. 2) Pentru undele de șoc slabe, saltul de entropie peste unda de șoc este o mărime de ordinul trei în ceea ce privește intensitatea undei de șoc și, prin urmare, $\nabla s$ poate fi neglijat. Undele de șoc în corpurile subțiri sunt aproape paralele cu corpul și sunt slabe.

Curgeri aproape paralele: Atunci când curgerea este predominant unidirecțională, cu mici abateri, cum ar fi în cazul curgerii pe lângă corpuri subțiri, ecuația completă poate fi simplificată în continuare. Fie $U\mathbf {e} _{x}$ curentul principal și să se ia în considerare mici abateri de la acest câmp de viteze. Potențialul de viteză corespunzător poate fi scris sub forma $\varphi =xU+\phi$ unde $\phi$ caracterizează mica abatere de la curgerea uniformă și satisface versiunea liniarizată a ecuației complete. Aceasta este dată de:

(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0

unde $M=U/c_{\infty }$ este numărul Mach constant care corespunde curgerii uniforme. Această ecuație este valabilă cu condiția ca $M$ să nu fie aproape de unitate. Atunci când $|M-1|$ este mică (curgere transonică), avem următoarea ecuație neliniară:^[4]

2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}

Unde $\alpha _{*}$ este valoarea critică a derivatei Landau $\alpha =(c^{4}/2\upsilon ^{3})(\partial ^{2}\upsilon /\partial p^{2})_{s}$ ^[6]^[7] și $\upsilon =1/\rho$ este volumul specific. Curgerea transonică este complet caracterizată de un singur parametru $\alpha _{*}$ , care pentru gazul politropic ia valoarea $\alpha _{*}=\alpha =(\gamma +1)/2$ . Sub transformarea hodografică, ecuația transonică în două dimensiuni devine ecuația Euler–Tricomi.

Curgere instabilă

Ecuațiile de continuitate și de impuls (de curgere potențială) pentru curgerile instabile sunt date de:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla \rho =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p=-{\frac {c^{2}}{\rho }}\nabla \rho =-\nabla h.

Prima integrală a ecuației impulsului (de curgere potențială) este dată de:

{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {v^{2}}{2}}+h=f(t),\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial v^{2}}{\partial t}}+{\frac {df}{dt}}

unde $f(t)$ este o funcție arbitrară. Fără a pierde din generalitate, putem stabili $f(t)=0$ deoarece $\varphi$ nu este definită în mod unic. Combinând aceste ecuații, obținem:

Înlocuind aici $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ rezultă în:

\varphi _{tt}+{\frac {1}{2}}(\varphi _{x}^{2}+\varphi _{y}^{2}+\varphi _{z}^{2})_{t}=(c^{2}-\varphi _{x}^{2})\varphi _{xx}+(c^{2}-\varphi _{y}^{2})\varphi _{yy}+(c^{2}-\varphi _{z}^{2})\varphi _{zz}-2(\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}+\varphi _{y}\varphi _{z}\varphi _{yz}+\varphi _{z}\varphi _{x}\phi _{zx}).

Curgeri aproape paralele: Ca și înainte, pentru curgeri aproape paralele, putem scrie (după introducerea unui timp renormalizat $\tau =c_{\infty }t$ ):

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+M{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=(1-M^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}$

cu condiția ca numărul Mach $M$ să fie constant și nu aproape de unitate. Când $|M-1|$ este mică (curgere transonică), avem următoarea ecuație neliniară:^[4]

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.}

Unde sonore: În undele sonore, mărimea vitezei $v$ (sau numărul Mach) este foarte mică, deși termenul instabil este acum comparabil cu ceilalți termeni principali din ecuație. Astfel, neglijând toți termenii pătratici și de ordin superior și observând că, în aceeași aproximare, $c$ este o constantă (de exemplu, în gazul politropic $c^{2}=(\gamma -1)h_{0}$ ), avem^[8]^[4]

{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\varphi ,

care este o ecuație de undă liniară pentru potențialul de viteză $φ$ . Din nou, partea oscilatorie a vectorului viteză $v$ este legată de potențialul viteză prin $v = \nabla φ$ , în timp ce, ca și înainte, $Δ$ este operatorul Laplace, iar $c$ este viteza medie a sunetului în mediul omogen. Rețineți că și părțile oscilatoare ale presiunii $p$ și densității $ρ$ satisfac fiecare în parte ecuația de undă, în această aproximație.

Aplicabilitate și limitări

Curgerea potențială nu include toate caracteristicile curgerilor care se întâlnesc în lumea reală. Teoria curgerii potențiale nu poate fi aplicată în cazul curgerilor interne vâscoase,^[1] cu excepția curgerilor între plăci foarte apropiate. Richard Feynman a considerat că curgerea potențială este atât de nefizică, încât singurul fluid care se supune ipotezelor este „apa uscată” (citându-l pe John von Neumann).^[9] De asemenea, curgerea potențială incompresibilă face o serie de predicții nevalabile, cum ar fi paradoxul lui d'Alembert, care afirmă că rezistența la înaintare a oricărui obiect care se deplasează printr-un fluid infinit, altfel în repaus, este egală cu zero.^[10] Mai exact, curgerea potențială nu poate explica comportamentul curgerilor care includ un strat limită.^[1] Cu toate acestea, înțelegerea curgerii potențiale este importantă în multe ramuri ale mecanicii fluidelor. În special, curgerile potențiale simple (numite curgeri elementare), cum ar fi vortexul liber și sursa punctiformă, dispun de soluții analitice rapide. Aceste soluții pot fi suprapuse pentru a crea curgeri mai complexe care să satisfacă o varietate de condiții la limită. Aceste curgeri corespund îndeaproape curgerilor din viața reală în întreaga mecanică a fluidelor. În plus, multe informații valoroase rezultă atunci când se ia în considerare abaterea (adesea ușoară) dintre o curgere observată și curgerea potențială corespunzătoare. Curgerea potențială își are numeroase aplicații în domenii precum proiectarea aeronavelor. De exemplu, în dinamica fluidelor numerice, o tehnică constă în cuplarea unei soluții de curgere potențială în afara stratului limită cu o soluție a ecuațiilor stratului limită în interiorul stratului limită. Absența efectelor stratului limită înseamnă că orice linie de curgere poate fi înlocuită cu o limită solidă fără nicio modificare a câmpului de curgere, o tehnică utilizată în multe abordări de proiectare aerodinamică. O altă tehnică ar fi utilizarea solidelor Riabouchinsky^⁠(d).

Analiză pentru curgerea incompresibilă bidimensională

Curgerea potențială în două dimensiuni este simplă de analizat cu ajutorul cartografierii conforme, prin utilizarea transformărilor planului complex. Cu toate acestea, nu este necesară utilizarea numerelor complexe, așa cum se întâmplă, de exemplu, în analiza clasică a curgerii fluidelor pe lângă un cilindru. Nu este posibil să se rezolve o curgere potențială folosind numere complexe în trei dimensiuni.^[11]

Ideea de bază este de a utiliza o funcție holomorfă (numită și analitică) sau meromorfă $f$ , care face legătura între domeniul fizic $(x, y)$ și domeniul transformat $(φ, ψ)$ . În timp ce $x$ , $y$ , $φ$ și $ψ$ au toate valori reale, este convenabil să se definească mărimile complexe:

{\begin{aligned}z&=x+iy\,,{\text{ și }}&w&=\varphi +i\psi \,.\end{aligned}}

Acum, dacă scriem corespondența $f$ ca^[11]

{\begin{aligned}f(x+iy)&=\varphi +i\psi \,,{\text{ sau }}&f(z)&=w\,.\end{aligned}}

Atunci, deoarece $f$ este o funcție holomorfă sau meromorfă, trebuie să satisfacă ecuațiile Cauchy-Riemann^[11]

{\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,&{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}

Componentele vitezei $(u, v)$ , respectiv în direcțiile $(x, y)$ , pot fi obținute direct din $f$ prin diferențierea față de $z$ . Adică^[11]

{\frac {df}{dz}}=u-iv

Deci câmpul de viteză $v = (u, v)$ este specificat de^[11]

{\begin{aligned}u&={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},&v&={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\,.\end{aligned}}

Atât $φ$ cât și $ψ$ satisfac atunci ecuația lui Laplace:^[11]

{\begin{aligned}\Delta \varphi &={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}=0\,,{\text{ și }}&\Delta \psi &={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}=0\,.\end{aligned}}

Astfel, $φ$ poate fi identificat ca fiind potențialul de viteză, iar $ψ$ se numește funcția de curgere.^[11] Liniile de constantă $ψ$ sunt cunoscute sub numele de linii de curent, iar liniile de constantă $φ$ sunt cunoscute sub numele de linii echipotențiale (a se vedea suprafața echipotențială).

Liniile de curent și liniile echipotențiale sunt ortogonale între ele, deoarece^[11]

\nabla \varphi \cdot \nabla \psi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=0\,.

Astfel, curgerea are loc de-a lungul liniilor de constantă $ψ$ și în unghi drept cu liniile de constantă $φ$ .^[11]

$Δ ψ = 0$ este, de asemenea, satisfăcută. Această relație este echivalentă cu rotația vectorului viteză v fiind egală cu zero: $\nabla \times v = 0$ . Așadar, curgerea este irotațională. Condiția automată $\partial 2 Ψ / \partial x \partial y = \partial 2 Ψ / \partial y \partial x$ rezultă din constrângerea de incompresibilitate $\nabla \cdot v = 0$ .

Exemple de curgeri incompresibile bidimensionale

Orice funcție diferențiabilă poate fi utilizată pentru $f$ . Exemplele de mai jos utilizează o varietate de funcții elementare; pot fi utilizate și funcții speciale. Rețineți că pot fi utilizate funcții cu mai multe valori, cum ar fi logaritmul natural, dar atenția trebuie limitată la o singură suprafață Riemann.

Legile puterii

Exemple de hărți conforme pentru legea de putere

w = Az n

Exemple de hărți conforme pentru legea de putere

w = Az n

, pentru diferite valori ale puterii

n

. Este prezentat planul

z

, care arată liniile de potențial constant

φ

și de funcție de curgere

ψ

, în timp ce

w = φ + iψ

.

În cazul în care se aplică următoarea hartă conformă a legii puterii, de la $z = x + iy$ la $w = φ + iψ$ :^[12]

w=Az^{n}\,,

atunci, scriind $z$ în coordonate polare ca $z = x + iy = re iθ$ , avem^[12]

\varphi =Ar^{n}\cos n\theta \qquad {\text{și}}\qquad \psi =Ar^{n}\sin n\theta \,.

În figurile din dreapta sunt prezentate exemple pentru mai multe valori ale lui $n$ . Linia neagră este limita curgerii, în timp ce liniile albastre mai închise sunt linii de curent, iar liniile albastre mai deschise sunt linii echipotențiale. Câteva valori interesante ale lui $n$ sunt:^[12]

$n = 1 / 2$ : aceasta corespunde curgerii în jurul unei plăci semi-infinite,
$n = 2 / 3$ : curgere în jurul unui colț drept,
$n = 1$ : un caz trivial de curgere uniformă,
$n = 2$ : curgere printr-un colț sau în apropierea unui punct de stagnare și
$n = -1$ : curgerea datorată unei surse dublete.

Constanta $A$ este un parametru de scalare: valoarea sa absolută $| A |$ determină scara, în timp ce argumentul său $arg(A)$ introduce o rotație (dacă este diferită de zero).

Legi de putere cu $n = -1$ : curgere uniformă

Dacă $w = Az 1$ , adică o lege de putere cu $n = 1$ , liniile de curent (adică liniile de constantă $ψ$ ) formează un sistem de drepte paralele cu axa $x$ . Acest lucru este cel mai ușor de văzut scriind $w$ în termeni de componente reale și imaginare:

f(x+iy)=A\,(x+iy)=Ax+iAy

dând astfel $φ = Ax$ și $ψ = Ay$ . Această curgere poate fi interpretată ca o curgere uniformă paralelă cu axa $x$ .

Legi de putere cu $n = -2$

Dacă $n = 2$ , atunci $w = Az 2$ și linia de curgere corespunzătoare unei anumite valori a lui $ψ$ sunt acele puncte care satisfac

\psi =Ar^{2}\sin 2\theta \,,

care este un sistem de hiperbole dreptunghiulare. Acest lucru poate fi demonstrat prin rescrierea din nou în termeni de componente reale și imaginare. Observând că $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ și rescriind $sin θ = y / r$ și $cos θ = x / r$ se observă (prin simplificare) că liniile de curent sunt date de

\psi =2Axy\,.

Câmpul de viteză este dat de $\nabla φ$ , sau

{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[2px]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\partial \psi  \over \partial y}\\[2px]-{\partial \psi  \over \partial x}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+2Ax\\[2px]-2Ay\end{pmatrix}}\,.

În dinamica fluidelor, câmpul de curgere din apropierea originii corespunde unui punct de stagnare. Rețineți că fluidul de la origine este în repaus (acest lucru rezultă din diferențierea lui $f (z) = z 2$ la $z = 0$ ). Linia de curgere $ψ = 0$ este deosebit de interesantă: are două (sau patru) ramificații, urmând axele de coordonate, adică $x = 0$ și $y = 0$ . Deoarece niciun fluid nu curge de-a lungul axei $x$ , aceasta (axa $x$ ) poate fi tratată ca o frontieră solidă. Astfel, este posibil să se ignore curgerea în semiplanul inferior, unde $y < 0$ , și să se concentreze asupra curgerii în semiplanul superior. Cu această interpretare, curgerea este cea a unui jet dirijat vertical care lovește o placă plană orizontală. De asemenea, curgerea poate fi interpretată ca fiind o curgere într-un colț de 90 de grade, dacă se ignoră regiunile specificate de (să zicem) $x, y < 0$ .

Legi de putere cu $n = 3$

Dacă $n = 3$ , curgerea rezultată este o versiune hexagonală a cazului $n = 2$ prezentat anterior. Liniile de curent sunt definite de ecuația $ψ = 3 x 2 y - y 3$ . Curgerea poate fi interpretată ca o curgere într-un colț de 60°.

Legi de putere cu $n = -1$ : dublet

Dacă $n = -1$ , liniile de curent sunt date de

\psi =-{\frac {A}{r}}\sin \theta .

Acest lucru este mai ușor de interpretat în termeni de componente reale și imaginare:

{\begin{aligned}\psi ={\frac {-Ay}{r^{2}}}&={\frac {-Ay}{x^{2}+y^{2}}}\,,\\x^{2}+y^{2}+{\frac {Ay}{\psi }}&=0\,,\\x^{2}+\left(y+{\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}&=\left({\frac {A}{2\psi }}\right)^{2}\,.\end{aligned}}

Astfel, liniile de curgere sunt cercuri tangente la axa x la origine. Cercurile din semiplanul superior curg în sensul acelor de ceasornic, iar cele din semiplanul inferior curg în sens invers acelor de ceasornic. Rețineți că componentele vitezei sunt proporționale cu $r -2$ ; iar valorile lor la origine sunt infinite. Acest model de curgere este denumit de obicei dublet sau dipol și poate fi interpretat ca fiind combinația unei perechi sursă-chiuvetă de intensitate infinită, menținută la o distanță infinitezimală. Câmpul de viteze este dat de

(u,v)=\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)=\left(A{\frac {y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},-A{\frac {2xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\right)\,.

sau în coordonate polare:

(u_{r},u_{\theta })=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)=\left(-{\frac {A}{r^{2}}}\cos \theta ,-{\frac {A}{r^{2}}}\sin \theta \right)\,.

Legi de putere cu $n = -2$ : cvadrupol

Dacă $n = -2$ , liniile de curent sunt date de

\psi =-{\frac {A}{r^{2}}}\sin 2\theta \,.

Acesta este câmpul de curgere asociat cu un cvadrupol.^[13]

Linie sursă și chiuvetă

O sursă de linie sau o chiuvetă de putere $Q$ ( $Q>0$ pentru sursă și $Q<0$ pentru chiuvetă) este dată de potențialul:

w={\frac {Q}{2\pi }}\ln z

Unde $Q$ de fapt este curgerea de volum pe unitate de lungime pe o suprafață care înconjoară sursa sau chiuveta. Câmpul de viteză în coordonate polare este dat de:

u_{r}={\frac {Q}{2\pi r}},\quad u_{\theta }=0

adică o curgere pur radială.

Linie vortex

Un vârtej de forță $\Gamma$ este dat de

w={\frac {\Gamma }{2\pi i}}\ln z

Unde $\Gamma$ este circulația în jurul oricărui contur simplu închis care înconjoară vortexul. Câmpul de viteză în coordonate polare este:

u_{r}=0,\quad u_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}

adică o curgere pur azimutală.

Analiză pentru curgeri incompresibile tridimensionale

Pentru curgerile tridimensionale, potențialul complex nu poate fi obținut.

Sursă punctiformă și chiuvetă

Potențialul de viteză al unei surse punctiforme sau al unei chiuvete de putere $Q$ ( $Q>0$ pentru sursă și $Q<0$ pentru chiuvetă) în coordonate polare sferice este dat de:

\phi =-{\frac {Q}{4\pi r}}

unde $Q$ este curgerea de volum pe o suprafață închisă care înconjoară sursa sau chiuveta. Câmpul de viteză în coordonate polare sferice este dat de:

u_{r}={\frac {Q}{4\pi r^{2}}},\quad u_{\theta }=0,\quad u_{\phi }=0.

Note

^ ^a ^b ^c Batchelor (1973) pp. 378–380.
^ Kirby, B.J. (2010), Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0
^ ^a ^b ^c Batchelor (1973) pp. 99–101.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2013). Fluid mechanics: Landau And Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6 (Vol. 6). Elsevier. Section 114, page 436.
^ Anderson, J. D. (2002). Modern compressible flow. McGraw-Hill. pp. 358–359. ISBN 0-07-242443-5.
^ 1942, Landau, L.D. "On shock waves" J. Phys. USSR 6 229-230
^ Thompson, P. A. (1971). A fundamental derivative in gasdynamics. The Physics of Fluids, 14(9), 1843-1849.
^ Lamb (1994) §287, pp. 492–495.
^ Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1964), The Feynman Lectures on Physics, 2, Addison-Wesley , p. 40-3. Chapter 40 has the title: The flow of dry water.
^ Batchelor (1973) pp. 404–405.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Batchelor (1973) pp. 106–108.
^ ^a ^b ^c Batchelor (1973) pp. 409–413.
^ Kyrala, A. (1972). Applied Functions of a Complex Variable. Wiley-Interscience. pp. 116–117. ISBN 9780471511298.

Bibliografie

Batchelor, G.K. (1973), An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
Chanson, H. (2009), Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages, ISBN 978-0-415-49271-3
Lamb, H. (1994) [1932], Hydrodynamics (ed. 6th), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
Milne-Thomson, L.M. (1996) [1968], Theoretical hydrodynamics (ed. 5th), Dover, ISBN 0-486-68970-0

Lectură suplimentară

Chanson, H. (2007), „Le potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels: la contribution de Joseph-Louis Lagrange [Velocity potential in real fluid flows: Joseph-Louis Lagrange's contribution]”, La Houille Blanche (în franceză), 93 (5), pp. 127–131, doi:10.1051/lhb:2007072 
Wehausen, J.V.; Laitone, E.V. (1960), „Surface waves”, În Flügge, S.; Truesdell, C., Encyclopedia of Physics, IX, Springer Verlag, pp. 446–778, arhivat din original la 5 ianuarie 2009, accesat în 29 martie 2009

Vezi și

Legături externe

„Irrotational flow of an inviscid fluid”. University of Genoa^⁠(d), Faculty of Engineering. Accesat în 29 martie 2009.
„Conformal Maps Gallery”. 3D-XplorMath. Accesat în 29 martie 2009. — Java applets for exploring conformal maps
Potential Flow Visualizations - Interactive WebApps

Portal Fizică

[B_378_380-1] Batchelor (1973) pp. 378–380.

[Kirby-2] Kirby, B.J. (2010), Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0

[B_99_101-3] Batchelor (1973) pp. 99–101.

[landau-4] Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (2013). Fluid mechanics: Landau And Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6 (Vol. 6). Elsevier. Section 114, page 436.

[Anderson-5] Anderson, J. D. (2002). Modern compressible flow. McGraw-Hill. pp. 358–359. ISBN 0-07-242443-5.

[6] 1942, Landau, L.D. "On shock waves" J. Phys. USSR 6 229-230

[7] Thompson, P. A. (1971). A fundamental derivative in gasdynamics. The Physics of Fluids, 14(9), 1843-1849.

[8] Lamb (1994) §287, pp. 492–495.

[9] Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1964), The Feynman Lectures on Physics, 2, Addison-Wesley , p. 40-3. Chapter 40 has the title: The flow of dry water.

[B_404_405-10] Batchelor (1973) pp. 404–405.

[B_106_108-11] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Batchelor (1973) pp. 106–108.

[B_409_413-12] Batchelor (1973) pp. 409–413.

[13] Kyrala, A. (1972). Applied Functions of a Complex Variable. Wiley-Interscience. pp. 116–117. ISBN 9780471511298.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]