Extensie de corp

În matematică, în special în algebră, o extensie de corp^[1] este o pereche de corpuri $E\subseteq F,$ astfel încât operațiunile lui E sunt cele ale lui F restricționate la E. În acest caz F este o extensie de corp a lui E, iar E este un subcorp al lui F.^[2]^[3]^[4] De exemplu, sub noțiunile obișnuite de adunare și înmulțire, numerele complexe o extensie de corp a numerelor reale; numerele reale fiind un subcorp al numerelor complexe.

Extensiile de corp sunt fundamentale în teoria algebrică a numerelor^⁠(d) și în studiul rădăcinilor polinoamelor prin teoria lui Galois și sunt utilizate pe scară largă în geometria algebrică.

Subcorp modificare

Un subcorp al unui corp L este o submulțime K din L care este un corp în ceea ce privește operațiile pe corp moștenite de la L. Echivalent, un subcorp este o submulțime care conține 1 și este închisă sub operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a unui element diferit de zero din K.

Cum $1 - 1 = 0$ , ultima definiție implică faptul că K și L au același element zero.

De exemplu, corpul numerelor raționale este un subcorp al numerelor reale, care este el însuși un subcorp al numerelor complexe. Mai general, corpul numerelor raționale este (sau este izomorf cu) un subcorp al oricărui corp cu caracteristica 0.

Caracteristica unui subcorp este aceeași cu caracteristica corpului care-l conține.

Extensie de corp modificare

Dacă K este un subcorp al lui L, atunci L este o extensie de corp sau, simplu, extensia lui K, iar această pereche de corpuri este o extensie de corp. O astfel de extensie de corp este denumită L/K (citită „L peste K”).

dacă L este o extensie a lui F, care, la rândul său,este o extensie a lui K, atunci F se spune că este un corp intermediar (sau extensie intermediară sau subextensie) a lui L / K.

Fiind dată extensia L / K, corpul mai mare L este un K-spațiu vectorial. Dimensiunea acestui spațiu vectorial este gradul extensiei de corp, notată cu [L : K].

Gradul unei extensii este 1 dacă și numai dacă cele două corpuri sunt egale. În acest caz, extensia este o extensie trivială. Extensiile de gradele 2 și 3 se numesc extensii pătratice, respectiv extensii cubice. O extensie finită este o extensie care are un grad finit.

Fiind date două extensii L / K și M / L, extensia M / K este finită dacă și numai dacă ambele L / K și M / L sunt finite. În acest caz există

[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].

Fiind dată extensia L / K și o submulțime S a L, există un cel mai mic subcorp din L care conține K și S. Ea este intersecția tuturor subcorpurilor din L care conțin K și S, și este notată cu K(S). Se spune că K(S) este corpul generat de S peste K, iar această S este generator^⁠(d) K(S) peste K. Când $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ este finită, se scrie $K(x_{1},\ldots ,x_{n})$ în loc de $K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),$ și se spune că K(S) este generată finit peste K. Dacă S constă dintr-un singur element s, extensia K(s) / K este numită extensie simplă^[5]^[6] iar s este numită elementul primitiv al extensiei.^[7]

O extensie de corp de forma K(S) se spune adesea că este rezultatul adjuncției lui S la K.^[8]^[9]

Cu caracteristica 0, orice extensie finită este o extensie simplă. Aceasta este teorema elementului primitiv, care nu este valabilă pentru corpurile cu caracteristici diferite de zero.

Dacă o extensie simplă K(s) / K nu este finită, corpul K(s) este izomorf cu corpul numerelor raționale în s peste K.

Atenție modificare

Notația L / K este una pur formală și nu implică formarea unui inel factor sau grup factor sau a oricărui alt tip de diviziune. Bara oblică are sensul de „peste”. În unele lucrări se folosește notația L:K.

Adesea este de dorit să se vorbească despre extensiile de corp în situații în care corpul mic nu este de fapt conținut în cel mare, ci este înglobat în el în mod natural. În acest scop, se definește în mod abstract o extensie de corp ca un homomorfism de inele^⁠(d) injectiv între două corpuri. Orice omomorfism de inele nul între corpuri este injectiv deoarece corpurile nu posedă ideale proprii netriviale, astfel încât extensiile de corp sunt tocmai morfisme din categoria corpurilor.

De aici încolo nu se va vorbi despre omomorfisme injective și se va presupune că se vorbește despre subcorpuri reale.

Exemple modificare

Corpul numerelor complexe $\mathbb {C}$ este o extensie de corp a corpului numerelor reale $\mathbb {R}$ , iar $\mathbb {R}$ este, la rândul său, o extensie a corpului numerelor raționale $\mathbb {Q}$ . Este limpede că $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ este și ea o extensie. Există $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ deoarece $\{1,i\}$ este o bază, astfel că extensia $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ este finită. Aceasta este o extensie simplă deoarece $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i).$ $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}$ (cardinalitatea continuumului), ca urmare această extensie este infinită.

Corpul

\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},

este o extensie de corp a lui $\mathbb {Q} ,$ , o extensie simplă. Gradul său este 2 deoarece $\left\{1,{\sqrt {2}}\right\}$ poate fi o bază.

Corpul

{\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}

este o extensie de corp ale ambelor $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ și $\mathbb {Q} ,$ , de gradul 2, respectiv 4. Și ea este o extensie simplă deoarece se poate arăta că

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}

Extensiile finite ale lui $\mathbb {Q}$ se mai numesc corpuri de numere^⁠(d) algebrice și sunt importante în teoria numerelor. Altă extensie de corp a numerelor raționale, care este și ea importantă în teoria numerelor, deși nu este o extensie finită, este corpul numerelor p-adice^⁠(d) $\mathbb {Q} _{p}$ pentru numerele prime p.

Este comun să se construiască o extensie de corp a unui corp dat K prin inelul factor al inelului polinoamelor^⁠(d) K[X] pentru a „crea” o rădăcină a unui polinom dat f(X). Se presupune, de exemplu, că K nu conține niciun element x cu x² = −1. Atunci polinomul X ^ 2 + 1 este ireductibil în K[X], în consecință idealul generat de acest polinom este maximal și $L=K[X]/(X^{2}+1)$ este o extensie de corp a lui K care trebuie să conțină un element al cărui pătrat este −1 (anume, clasa de reziduuri a lui X).

Prin iterarea construcției de mai sus se poate construi un corp de descompunere^⁠(d) al oricărui polinom din K[X]. Acesta este o extensie de corp „L” a „K” în care polinomul dat se descompune într-un produs de factori liniari.

Dacă p este un număr prim oarecare și n este un număr întreg pozitiv, există un corp finit GF(pⁿ) cu elemente pⁿ; acesta este o extensie de corp a corpului finit $\operatorname {GF} (p)=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ cu elemente p.

Fiind dat corpul K, se poate considera corpul K(X) al tuturor funcțiilor raționale de variabilă X cu coeficienți în K; elementele lui K(X) sunt fracții de două polinoame peste K și, într-adevăr, K(X) este corpul fracțiilor inelului polinomial K[X]. Acest corp al funcțiilor raționale este o extensie de corp a lui K. Această extensie este infinită.

Fiind dată o suprafață Riemann M, mulțimea tuturor funcțiilor meromorfe definite pe M este un corp, notat cu $\mathbb {C} (M).$ Dacă se identifică fiecare număr complex cu funcția constantă corespunzătoare definită pe M, este o extensie de corp transcendentă $\mathbb {C} .$ Mai general, având în vedere o varietate algebrică^⁠(d) V peste un câmp K, atunci corpul funcțional al lui V, constând din funcțiile raționale definite pe V și notate cu K(V), este o extensie de corp a lui K.

Extensie algebrică modificare

Articole principale: Extensie algebrică și Element algebric.

Un element x al unei extensii de corp L/K este algebric peste K dacă este o rădăcină a unui polinom nenul cu coeficienți în K.

Un element s din L este algebric peste K dacă și numai dacă extensia simplă K(s)/K este o extensie finită. În acest caz, gradul extensiei este egal cu gradul polinomului minim și o bază a K-spațiului vectorial K (s) constă din $1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},$ unde d este gradul polinomului minim.

Mulțimea elementelor din L care sunt algebrice peste K formează o subextensie, care este numită închiderea algebrică a lui K în L. Asta rezultă din caracterizarea precedentă: dacă s și t sunt algebrice, extensiile K(s) /K și K(s)(t) /K(s) sunt finite. Ca urmare, K(s, t) /K este și ea finită, ca și subextensiile K(s ± t) /K, K(st) /K și K(1/s) /K (dacă s ≠ 0). prin urmare s ± t, st și 1/s sunt toate algebrice.

O extensie algebrică L / K este o extensie în care orice element al L este algebric peste K. Echivalent, o extensie algebrică este o extensie care este generată de elemente algebrice. De exemplu, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ este o extensie algebrică a $\mathbb {Q}$ deoarece b ${\sqrt {2}}$ și ${\sqrt {3}}$ sunt algebrice peste $\mathbb {Q} .$

O extensie simplă este algebrică dacă și numai dacă este finită. Aceasta implică faptul că o extensie este algebrică dacă și numai dacă este reuniunea subextensiilor sale finite și că fiecare extensie finită este algebrică.

Fiecare corp K are o închidere algebrică, care este până la un izomorfism cea mai mare extensie de corp a lui K care este algebrică peste K și, de asemenea, cea mai mică extensie de corp astfel încât fiecare polinom cu coeficienți în K are o rădăcină în ea. De exemplu, $\mathbb {C}$ este o închidere algebrică a lui $\mathbb {R}$ , dar nu o închidere algebrică a lui $\mathbb {Q}$ , întrucât nu este algebric peste $\mathbb {Q}$ (de exemplu $π$ nu este algebric peste $\mathbb {Q}$ ).

Extensie transcendentă modificare

Având o extensie de câmp L/K, o submulțime S a L este numită independentă algebric peste K dacă printre elementele lui S nu există nicio relație polinomială netrivială cu coeficienți în K. Cea mai mare cardinalitate a unei mulțimi independentă algebric se numește gradul de transcendență al lui L/K. Este întotdeauna posibil să se găsească o mulțime S, independentă algebric peste K, astfel încât L/K (S) să fie algebrică. O astfel de mulțime S se numește baza de transcendență a lui L/K. Toate bazele de transcendență au aceeași cardinalitate, egală cu gradul de transcendență al extensiei. Se spune că o extensie L/K este pur transcendentă dacă și numai dacă există o bază de transcendență S a lui L/K astfel încât L = K(S). O astfel de extensie are proprietatea că toate elementele L, cu excepția celor din K, sunt transcendente peste K, dar, totuși, există extensii cu această proprietate care nu sunt pur transcendente — o clasă de astfel de extensii iau forma L/K unde atât L, cât și K sunt închise algebric. În plus, dacă L/K este pur transcendentă și S este o bază de transcendență a extensiei, nu urmează neapărat că L = K(S). De exemplu, fie extensia $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} ,$ unde x este transcendent peste $\mathbb {Q} .$ Mulțimea $\{x\}$ este algebric independentă, deoarece x este transcendent. Evident, extensia $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} (x)$ este algebrică, prin urmare $\{x\}$ este o bază de transcendență. Nu generează întreaga extensie, deoarece nu există o expresie polinomială în $x$ pentru ${\sqrt {x}}.$ Dar este ușor de văzut că $\{{\sqrt {x}}\}$ este o bază de transcendență care generează $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}}),$ deci extensia este într-adevăr pur transcendentă.

Extensii normale, separabile și Galois modificare

O extensie algebrică L/K se numește normală dacă fiecare polinom ireductibil din K[X] care are o rădăcină în L se descompune complet în factori liniari peste L. Fiecare extensie algebrică F/K admite o închidere normală L, care este o extensie de corp a lui F astfel încât L/K este normală și este cea minimă cu această proprietate.

O extensie algebrică L/K se numește separabilă^⁠(d) dacă polinomul minim al fiecărui element din L peste K este separabil, adică nu are rădăcini multiple într-o închidere algebrică peste K. O extensie Galois este o extensie de corp care este atât normală, cât și separabilă.

O consecință a teoremei elementului primitiv afirmă că fiecare extensie finită separabilă are un element primitiv (adică este simplă).

Având în vedere orice extensie de corp L/K, se poate lua în considerare grupul său de automorfisme Aut(L/K), format din toate automorfismele corpului α: L → L cu α(x) = x pentru toate x din K. Când extensia este Galois, acest grup de automorfisme se numește grupul Galois^⁠(d) al extensiei. Extensiile al căror grup Galois este abelian se numesc extensii abeliene.

Pentru o extensie de corp dată L/K, deseori există interes pentru corpurile intermediare F (subcorpurile lui L care conțin K). Semnificația extensiilor Galois și a grupurilor Galois este că permit o descriere completă a corpurilor intermediare: există o bijecție între corpurile intermediare și subgrupurile grupului Galois, descrisă de Jürgen B. Hausmann^⁠(d).

Generalizări modificare

Extensiile de corp pot fi generalizate la extensii de inel care constau dintr-un inel și un subinel. Un analog necomutativ mai apropiat sunt algebrele centrale simple (CSA) — extensii de inele peste un corp, care sunt algebre simple (nu există ideale netriviale pe două părți, la fel ca pentru un corp) și unde centrul inelului este chiar corpul. De exemplu, singura extensie de corp finită a numerelor reale sunt numerele complexe, în timp ce cuaternionii sunt o algebră centrală simplă peste numerele reale, iar toate CSA-urile peste numerele reale sunt echivalente Brauer^⁠(d) cu realii sau cuaternionii. CSA-urile pot fi generalizate în continuare la algebrele Azumaya^⁠(d), unde corpul de bază este înlocuit cu un inel local^⁠(d) comutativ.

Extensii ale scalarilor modificare

Fiind dată o extensie de corp, se pot extinde scalarii pe obiectele algebrice asociate. De exemplu, dintr-un spațiu vectorial real se poate produce un spațiu vectorial complex prin complexificare^⁠(d). În plus față de spațiile vectoriale, se poate efectua extensia scalarilor pentru algebrele asociative^⁠(d) definite pe corp, cum ar fi la polinoame și reprezentări de grupuri asociate. Extensia scalarilor polinoamelor este adesea utilizată implicit, considerând coeficienții ca fiind elemente ale unui corp mai mare, dar poate fi considerată mai formal. Extensia scalarilor are numeroase aplicații.

Note modificare

^ Dumitru Bușneag, Algebră I (abstractă) (fișa fisciplinei), Universitatea din Craiova, 2008, accesat 2023-10-30
^ en Fraleigh (1976, p. 293)
^ en Herstein (1964, p. 167)
^ en McCoy (1968, p. 116)
^ en Fraleigh (1976, p. 298)
^ en Herstein (1964, p. 193)
^ en Fraleigh (1976, p. 363)
^ en Fraleigh (1976, p. 319)
^ Herstein (1964, p. 169)

Bibliografie modificare

en Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (ed. 2nd), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
en Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
en Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Corrected fourth printing, revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
en McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

Legături externe modificare

Portal Matematică

en Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), „Extension of a field”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

[DB-1] Dumitru Bușneag, Algebră I (abstractă) (fișa fisciplinei), Universitatea din Craiova, 2008, accesat 2023-10-30

[2] Fraleigh (1976, p. 293)

[3] Herstein (1964, p. 167)

[4] McCoy (1968, p. 116)

[5] Fraleigh (1976, p. 298)

[6] Herstein (1964, p. 193)

[7] Fraleigh (1976, p. 363)

[8] Fraleigh (1976, p. 319)

[9] Herstein (1964, p. 169)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]