Icosaedru triambic medial

Icosaedru triambic medial
(model 3D)
Descriere
Tip	dual al unui poliedru uniform
Fețe	20
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	24
χ	−16
Simbol Wythoff	3 | 5/3 5
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Ih, [5,3], (*532)
Grup de rotație	I, [5,3]+, (532)
Poliedru dual	Dodecadodecaedru ditrigonal
Proprietăți	stelat, neconvex, izoedric

În geometrie icosaedrul triambic medial este un poliedru stelat compus din 20 de hexagoane cu fețe neregulate care se intersectează. Are 60 de laturi, 24 de vârfuri și caracteristica Euler de −16. Este un izoedru, ceea ce înseamnă că toate fețele sale sunt simetrice între ele. Este dualul dodecadodecaedrului ditrigonal.

Fețele izoedrice. Vârfurile din zonele concave sunt de fapt în interiorul poliedrului, așa că nu sunt vizibile, astfel că nici nu sunt considerate vârfuri ale poliedrului.

Vizual este identic cu marele icosaedru triambic, astfel că în The Fifty-Nine Icosahedra sunt considerate aceeași stelare și au același simbol, De₂f₂. Aceste poliedre pot fi deosebite doar prin marcarea căror intersecții dintre laturi sunt vârfuri adevărate și care nu sunt. În imaginea din casetă vârfurile adevărate sunt marcate cu sfere aurii. Spre deosebire de marele icosaedru triambic, în zonele concave în formă de Y intersecțiile laturilor nu sunt considerate vârfuri, ca umare icosaedrul triambic medial are doar 24 de vârfuri, față de 32, câte are marele icosaedru triambic. Structura internă a celor două forme diferă dacă fețele sunt formate pe baza regulii par–impar.

Anvelopa convexă trece prin doar 12 vârfuri și este un icosaedru regulat.

Mărimi asociate

Unghiuri

Fețele sunt hexagoane neregulate, cu unghiuri alternante de $\arccos(-{\frac {1}{4}})+120^{\circ }\,\approx 224,477\,512\,185\,93^{\circ }$ și $\arccos({\frac {1}{4}})-60^{\circ }\approx 15,522\,487\,814\,07^{\circ }$.

Unghiul diedru este de $\arccos(-{\frac {1}{3}})\approx 109,471\,220\,634\,49^{\circ }.$

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor marelui icosaedru triambic cu lungimea laturii 1, centrat în origine, sunt toate permutările pare ale:

$\left(\,\pm (1+\varphi ),\,\pm \varphi ,\,0\,\right)$

$\left(\,\pm (\varphi -1),\,\pm (2-\varphi ),\,0\,\right)$

$\left(\,\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}},\,\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}}\,\pm {\frac {\sqrt {5}}{5}}\,\right)$

unde $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei înscrise

Raza sferei înscrise pentru lungimea laturii a este:

$r={\frac {\sqrt {3}}{3}}\,a\approx 0,577350\,a.$

Forme înrudite

Dual: Dodecadodecaedru ditrigonal

Poliedru dual

Dualul său este dodecadodecaedrul ditrigonal, care este poliedrul uniform U₄₁.

Stelare

După Wenninger, este al 34-lea model al său, a noua stelare a icosaedrului.

• 
  Diagrama de stelare
• 
  A noua stelare
• 
  A noua stelare

Pavare hiperbolică hexagonală de ordinul 5

Pavare

Spre deosebire de marele icosaedru triambic, icosaedrul triambic medial este topologic un poliedru regulat de indice doi. Prin distorsionarea fețelor hexagonale în hexagoane regulate, se obține spațiul cât^⁠(d) hiperbolic al pavării hexagonale de ordinul 5:

Bibliografie

• en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. 
• en Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54325-5. MR 0730208. 

Vezi și

• Dodecadodecaedru ditrigonal
• Micul icosaedru triambic

Legături externe

• en Uniform polyhedra and duals

Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului
Regulat	Duale ale uniformelor		Compuși regulați			Stelare regulată	Altele
Icosaedru (convex)	Micul icosaedru triambic	Marele icosaedru triambic	Compus de cinci octaedre	Compus de cinci tetraedre	Compus de zece tetraedre	Marele icosaedru	Dodecaedru excavat	Stelarea finală
Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică.