Ortoplex

(Redirecționat de la Hiperoctaedru)
Ortoplecși în 2 până la 5 dimensiuni
2-orthoplex.svg Octahedron.png
2 dimensiuni
pătrat
3 dimensiuni
octaedru
Schlegel wireframe 16-cell.png 5-cube t4.svg
4 dimensiuni
4-ortoplex
5 dimensiuni
5-ortoplex

În geometrie, un ortoplex,[1] hiperoctaedru sau cocub este un politop regulat, convex n-dimensional. Un ortoplex 2-dimensional este un pătrat, un ortoplex 3-dimensional este un octaedru regulat, iar un ortoplex 4-dimensional este un 4-ortoplex (sau 16-celule). Fațetele sunt simplexuri în dimensiunea imediat inferioară, în timp ce figurile vârfurilor sunt alți ortoplecși, din dimensiunile anterioare.

Vârfurile unui ortoplex pot fi alese ca vectori unitate orientați de-a lungul fiecărei axe de coordonate, adică toate permutările a (±1, 0, 0, …, 0). Ortoplexul este anvelopa convexă a vârfurilor. Ortoplexul n-dimensional poate fi definit de asemenea ca o sferă unitate⁠(d) (sau, după unii autori doar frontierele sale) în spații normate în Rn:

Într-o singură dimensiune ortoplexul este un simplu segment [−1, +1], în două dimensiuni este un pătrat (sau romb) cu vârfurile {(±1, 0), (0, ±1)}. În trei dimensiuni este un octaedru — unul din cele cinci corpuri poliedre regulate convexe. Seria poate fi generalizată în dimensiuni suplimentare printr-un n-ortoplex construit ca o n-piramidă dublă având baza un (n – 1)-ortoplex.

Ortoplexul este politopul dual al hipercubului. 1-scheletul⁠(d) unui ortoplex n-dimensional este un graf Turán⁠(d) T(2n,n).

În 4 dimensiuniModificare

Ortoplexul 4-dimensional este numit și 16-celule. Este unul dintre cele șase 4-politopuri convexe⁠(d) regulate⁠(d). Aceste 4-politopuri⁠(d) au fost descrise pentru prima dată de Ludwig Schläfli la mijlocul secolului al XIX-lea.

În dimensiuni superioareModificare

Familia ortoplecșilor este una din cele trei familii de politopuri regulate, notate de H.S.M. Coxeter cu βn, celelalte două fiind simplexurile, notate de el cu αn, și hipercuburile, notate de el cu γn. A patra familie, fagurii hipercubici a fost notată de el cu δn.[2]

Ortoplexul n-dimensional are 2n vârfuri, and 2n fețe (componente n–1 dimensionale) toate fiind n–1 simplexuri. figurile vârfurilor sunt toate (n–1)- ortoplecși. Simbolurile Schläfli ale ortoplecșilor sunt {3,3,...,3,4}.

Unghiurile diedre ale unui ortoplex n-dimensional este  . Asta dă: δ2 = arccos(0/2) = 90°, δ3 = arccos(-1/3) = 109.47°, δ4 = arccos(-2/4) = 120°, δ5 = arccos(-3/5) = 126.87°, ... δ = arccos(-1) = 180°.

Volumul unui ortoplex n-dimensional este

 

Pentru fiecare pereche de vârfuri care nu sunt opuse există o latură care le unește. Mai general, orice mulțime de vârfuri k+1 ortogonale corespunde unui component distinct k-dimensional care le conține. Numărul componentelor k-dimensionale (vârfuri, laturi, fețe, ..., fațete) dintr-un ortoplex n-dimensional este dat de (v. coeficient binomial):

 [3]

Sunt posibile mai multe proiecții ortogonale⁠(d) care prezintă ortoplecșii sub formă de grafuri 2-dimensionale. Poligoanele Petrie proiectează punctele într-un 2n-gon regulat sau în alte poligoane regulate de ordin inferior. O a doua proiecție ia 2(n–1)- gonul Petrie de dimensiunea inferioară, a se vedea bipiramida⁠(d), proiectată în direcția axei, cu cele două vârfuri plasate în centru.

Elementele ortoplecșilor
n βn
k11
Nume
Graf
Graf
2n-gon
Simbol Schläfli Diagramă Coxeter-Dynkin 0-fețe
Vârfuri
1-fețe
Laturi
2-fețe
Fețe
3-fețe
Celule
4-fețe 5-fețe 6-fețe 7-fețe 8-fețe 9-fețe 10-fețe
0 β0 Punct
0-ortoplex
. ( )  
1                    
1 β1 Segment
1-ortoplex
  { }  
 
2 1                  
2 β2
−111
Pătrat
2-ortoplex
  {4}
2{ } = { }+{ }
   
   
4 4 1                
3 β3
011
octaedru
3-ortoplex
  {3,4}
{31,1}
3{ }
     
   
     
6 12 8 1              
4 β4
111
16-cell
4-ortoplex
  {3,3,4}
{3,31,1}
4{ }
       
     
       
8 24 32 16 1            
5 β5
211
5-ortoplex   {33,4}
{3,3,31,1}
5{ }
         
       
         
10 40 80 80 32 1          
6 β6
311
6-ortoplex   {34,4}
{33,31,1}
6{ }
           
         
           
12 60 160 240 192 64 1        
7 β7
411
7-ortoplex   {35,4}
{34,31,1}
7{ }
             
           
             
14 84 280 560 672 448 128 1      
8 β8
511
8-ortoplex   {36,4}
{35,31,1}
8{ }
               
             
               
16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 1    
9 β9
611
9-ortoplex   {37,4}
{36,31,1}
9{ }
                 
               
                 
18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 1  
10 β10
711
10-ortoplex   {38,4}
{37,31,1}
10{ }
                   
                 
                   
20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 1
...
n βn
k11
n-ortoplex {3n − 2,4}
{3n − 3,31,1}
n{}
     ...      
    ...     
        ...  
2n 0-faces, ...   k-faces ..., 2n (n-1)-faces

Vârfurile aliniate pe axa ortoplexlui sunt la distanțe egale de celelalte vârfuri. Conjectura Kusner afirmă că această mulțime de 2d puncte este cea mai mare posibilă pentru acestă distanță.[4]

Ortoplecși generalizațiModificare

Politopurile complexe⁠(d) regulate, numite și ortoplecși generalizați, pot fi definite în spațiul Hilbert complex, βp
n
= 2{3}2{3}...2{4}p, sau         . Există soluții reale pentru p = 2, de exemplu β2
n
 = βn = 2{3}2{3}...2{4}2 = {3,3,..,4}. Pentru p > 2 ele există în  . Un p-generalizat n-ortoplex are pn vârfuri. Ortoplecșii generalizați au simplexuri (reale) ca fațete.[5] Ortoplecșii generalizați produc grafuri multipartite⁠(d), βp
2
produce Kp,p pentru un graf bipartit complet, βp
3
produce Kp,p,p pentru grafuri tripartite complete. βp
n
produce Kpn. Se poate face o proiecție ortogonală care arată toate vârfurile egal distanțate pe un cerc, cu toate perechile de vârfuri conectate, cu exccepția multiplilor de n. Poligonul regulat de pe perimetrul acestor proiecții ortogonale este numit poligon Petrie.

Ortoplecși generalizați
p=2 p=3 p=4 p=5 p=6 p=7 p=8
   
2{4}2 = {4} =    
K2,2
   
2{4}3 =    
K3,3
 
2{4}4 =    
K4,4
 
2{4}5 =    
K5,5
 
2{4}6 =    
K6,6
 
2{4}7 =    
K7,7
 
2{4}8 =    
K8,8
   
2{3}2{4}2 = {3,4} =      
K2,2,2
   
2{3}2{4}3 =      
K3,3,3
 
2{3}2{4}4 =      
K4,4,4
 
2{3}2{4}5 =      
K5,5,5
 
2{3}2{4}6 =      
K6,6,6
 
2{3}2{4}7 =      
K7,7,7
 
2{3}2{4}8 =      
K8,8,8
   
2{3}2{3}2
{3,3,4} =        
K2,2,2,2
   
2{3}2{3}2{4}3
       
K3,3,3,3
 
2{3}2{3}2{4}4
       
K4,4,4,4
 
2{3}2{3}2{4}5
       
K5,5,5,5
 
2{3}2{3}2{4}6
       
K6,6,6,6
 
2{3}2{3}2{4}7
       
K7,7,7,7
 
2{3}2{3}2{4}8
       
K8,8,8,8
   
2{3}2{3}2{3}2{4}2
{3,3,3,4} =          
K2,2,2,2,2
   
2{3}2{3}2{3}2{4}3
         
K3,3,3,3,3
 
2{3}2{3}2{3}2{4}4
         
K4,4,4,4,4
 
2{3}2{3}2{3}2{4}5
         
K5,5,5,5,5
 
2{3}2{3}2{3}2{4}6
         
K6,6,6,6,6
 
2{3}2{3}2{3}2{4}7
         
K7,7,7,7,7
 
2{3}2{3}2{3}2{4}8
         
K8,8,8,8,8
   
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}2
{3,3,3,3,4} =            
K2,2,2,2,2,2
   
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}3
           
K3,3,3,3,3,3
 
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}4
           
K4,4,4,4,4,4
 
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}5
           
K5,5,5,5,5,5
 
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}6
           
K6,6,6,6,6,6
 
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}7
           
K7,7,7,7,7,7
 
2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}8
           
K8,8,8,8,8,8

Familii de politopuri conexeModificare

Ortoplecșii se pot combina cu hipercuburile lor duale pentru a forma politopuri compuse:

NoteModificare

  1. ^ Conway îl numește „n-ortoplex” de la ortant⁠(d) complex
  2. ^ Coxeter 1973, pp. 120-124, §7.2.
  3. ^ Coxeter 1973, p. 121, §7.2.2..
  4. ^ en Guy, Richard K. (), „An olla-podrida of open problems, often oddly posed”, American Mathematical Monthly, 90 (3): 196–200, doi:10.2307/2975549, JSTOR 2975549 .
  5. ^ en Coxeter, Regular Complex Polytopes, p. 108

BibliografieModificare

  • Coxeter, H.S.M. (). Regular Polytopes (ed. 3rd). New York: Dover. 
    • pp. 121-122, §7.21. see illustration Fig 7.2B
    • p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)

Legături externeModificare

  Materiale media legate de Ortoplecși la Wikimedia Commons